正视儿童角膜前表面数学模型的建立及非球面的评价

　　作者：朱乐如，王波，施明光 作者单位：1.温州医学院附属第二医院 眼科，温州 浙江 325000;2.南京财经大学，江苏 南京 210046

　　【摘要】 目的 通过二次曲线方程来描述正视儿童角膜前表面的二维空间形态，根据各子午线非球面性的变化规律推导出其三维形态的数学表达式及非球面性变化规律表达式。方法 随机选取在本院进行常规体检的正常儿童77例(77只右眼)，分别用Humphrey ALTAS和Orbscan-Ⅱ角膜地形图系统进行测量，并记录前表面轴向图36条子午线(从0°开始，每间隔10°取子午线至350°)上4.5 mm内所有点的曲率值。通过建立三维座标系、座标轴旋转、解方程组，求得各个子午线上的二次曲线表达式及Q值。根据36条子午线Q值，求得最适二次曲面方程式及Q值变化规律的函数表达式。结果 ①角膜前表面各截痕的Q值介于-1～0.5之间。配对t检验显示，两种仪器各截痕Q差值在0°、10°、20°、30°、170°、180°、190°、200°、210°、220°、350°子午线差异无统计学意义。②角膜前表面的二次曲面方程为：++=1(Orbscan-Ⅱ);++=1(Humphrey ALTAS)。③角膜前表面Q值变化规律为：Q=-1+(Orbscan-Ⅱ);Q=-1+(Humphrey ALTAS)。结论 ①正视儿童角膜前表面各截痕形态均为椭圆形，在水平、近水平方向上为长椭圆形。②正视儿童角膜前表面为长轴在Z轴、短轴在Y轴的长椭球面。③各截痕的Q值随角度变化呈正弦规律。

　　【关键词】 角膜地形图，角膜，前表面，儿童，数字模型

　　A mathematical model of the corneal anterior surface of emmetropic children and an evaluation of asphericity

　　ZHU Leru*， WANG Bo， SHI Mingguang*.

　　* Department of Ophthalmology， the Second Affiliated Hospital of Wenzhou Medical College， Wenzhou China， 325000

　　[Abstract] Objective To describe the shape of the planar space of the corneal anterior surface of children with emmetropia by using a conic section， and then to plot the changes in asphericity on 36 meridians to deduce the formulae of the three-dimensional shape of the corneal anterior surface. Methods Seventy-seven right eyes of 77 children were measured with both the Humphrey ALTAS and Orbscan-Ⅱ. The curvature of all the points on 36 meridians (per 10° from 0° to 350°)， limited to a 4.5 mm zone， was collected. A coordinate was established with the horizontal， vertical and optical axis defined as the X， Y and Z axis. A circumrotation was then made. The formulae were calculated and the Q of 36 meridians， deduced from the formulae of the anterior surface， identified the shift rule of asphericity. Results The Q of the anterior surface was between -1～0.5. There was no significant difference in Q between the two instruments for the following meridians： 0°， 10°， 20°， 30°， 170°， 180°， 190°， 200°， 210°， 220° and 350°. The formulae of the anterior surface were：++=1(Orbscan-Ⅱ);++=1(Humphrey ALTAS).The change in Q followed the meridians： Q=-1+(Orbscan-Ⅱ);Q=-1+(Humphrey ALTAS). Conclusion The formulae of each meridian of the corneal anterior surface are ellipses， and the asphericity of the horizontal or near-horizontal meridians are prolate ellipses. The formulae of the anterior surface are ellipsoids， with the major axis on the Z axis and the short axis on the Y axis.The Q is related to the sine of the angles.

　　[Key words] corneal topography; cornea，anterior surface; children; mathematical model

　　随着角膜地形图系统的飞速发展，人们对角膜形态的研究进入了新的阶段，不断寻找最合适的数学表达式[1- 4]来描述其空间形态，但至今未提出儿童角膜三维空间数学模型。同时，关于正视儿童角膜非球面性的研究，国内外报道较少[5-6]。目前，计算机辅助角膜地形图系统(computerized video keratography，CVK)已经成为测量角膜形态的金标准，其种类繁多，而基于Placido盘的角膜地形图系统和Orbscan-Ⅱ是临床研究应用最多的两种仪器，研究表明它们在描述角膜前表面形态变化时既有差异又有共性[7]。

　　本研究分别使用Humphrey ALTAS(基于Placido盘的角膜地形图系统)和Orbscan-Ⅱ对正视儿童角膜进行测量，将两种仪器所得数据进行数学建模，用二次曲面方程来反映正视儿童角膜前表面空间形态的本质特征，并探讨各子午线非球面性随角度变化的规律。

　　1 资料和方法

　　1.1 临床资料

　　1.1.1 检查对象 序贯选择在本院进行常规体检的正常儿童77例(77只右眼)，其中女30例(30眼)，男47例(47眼)，年龄7～11岁，平均(8.75±1.20)岁。

　　1.1.2 入选标准 远、近裸眼视力均≥5.0(标准五分记录法)，检影验光无明显屈光不正。既往无器质性眼病史及全身病史者。

　　1.2 检查仪器 ZEIZZ公司生产的Humphrey ATLASTM Model 991(version A12)及Salt Lake City生产的BAUSCH & LOMB SURGICAL(version 3.0)。

　　1.3 检查方法 同一熟练技术人员对每位被检查对象分别进行两种仪器的测量，检查均在上午9：00~11：00点进行，顺序随机，检查过程中不使用人工泪液。每种仪器分别测量3次，选择最佳影像采集数据。

　　1.4 数据采集 分别取两种仪器前表面轴向图36条子午线(从0°开始，每间隔10°取子午线至350°)上4.5 mm内所有点的曲率值K。记录为(R，?兹，F)(R：测量点距离角膜顶点的距离，单位mm;?兹：子午线的度数，单位°;F：曲率值，单位D)。

　　1.5 建立数学模型

　　1.5.1 建立Cartisian坐标系 以角膜顶点为坐标轴中心，0~180°为X轴，90°~270°为Y轴，光轴为Z轴，建立Cartisian三维坐标系，各点坐标为(x，y，z)。

　　其中

　　x=R·cos?兹y=R·sin?兹z=z①

　　1.5.2 计算各截痕二次曲线方程 将X-Y坐标平面绕Z轴进行，能使各子午线的截痕在新坐标下的x或y为0，从而得到其二次曲线方程。假设使得这条子午线位于新坐标系XYZ下Y的轴上，可得出式②：

　　()2=a1z+a2()2=0x=sin?兹-cos?兹y=cos?兹+sin?兹z=②

　　又根据Baker’s方程式[8]y=、曲率半径公式r=、式①、式②，经三角函数推导可得式③[n=1.376(Orbscan-Ⅱ)，n=1.3375(Humphrey ALTAS)]：

　　=+(1+a2)22=R2③

　　任取子午线上两点代入式③，便可求得一组a1和a2。为使所得二次曲线无限接近真实形态，需多次反复取点代入求平均值。如一条子午线上有n点，那么就取次。

　　1.5.3 计算各截痕Q值 根据Q=-(a2+1)，代入36条子午线上平均a2值得Q值。

　　1.5.4 推导二次曲面方程式 由于二维空间各截痕的形态与三维空间形态是呈一一对应关系的(见表1)，故根据36条子午线的Q值可大致判断角膜的三维形态，在二次曲面公式中选取合适的公式进行拟合，得到通用方程。现以椭球面为例，进行数学推导：设在原坐标系下椭球面可表示为：

　　++=1④

　　由②、④可得式⑤

　　c==(cos2?兹+sin2?兹)⑤

　　将36条子午线的a1、a2值代入⑤中便可得36个c，求其平均值并代入⑤，然后任取两个不同的?兹解得 a、b值，共可取630次，求平均值。

　　1.5.5 推导Q值随?兹变化的关系式 现以椭球面为例，说明数学推导过程。结合式⑤及Q与a2的关系式，可得Q=-1+，故可假设Q与?兹满足：Q=-1+， 根据36条子午线的Q值及对应的?兹，由最小二乘法求得x、y值。

　　1.6 数据的导出及处理 分别将Humphrey ALTAS及Orbscan-Ⅱ的原始数据导出，并保存为.txt格式。用maple 8软件进行编程，实现任意多次取点及所有计算。

　　1.7 统计学方法 采用SPSS 12.0统计软件进行统计分析。使用Kolmogorov-Smirnov Test进行正态性检验，采用配对t检验来检验一致性，Pearson相关系数进行相关分析。部分数据采取描述性统计分析。

　　2 结果

　　2.1 各子午线a1、a2值及数学表达式 两种角膜地形图系统所得各截痕的a1>0，a2<0，均服从正态分布(见表2)，故其数学表达式为椭圆方程。

　　2.2 各子午线Q值 Q值均服从正态分布，介于-1～1之间;配对t检验显示，仅11条子午线的Q值一致，余子午线差异均有非常显著的统计学意义(见表3)。

　　2.3 各子午线Q值对称性评估 关于中心对称的两条子午线Q值，配对 t检验显示其对称性较差;相关性分析显示，Orbscan-Ⅱ的Q值对称性优于Humphrey ALTAS，且集中在垂直轴向(见表4)。

　　2.4 角膜前表面二次曲面表达式 ++=1(Orbscan-Ⅱ);++=1(Humphrey ALTAS)。

　　2.5 角膜前表面Q值变化规律公式 Q=-1+(Orbscan-Ⅱ);Q=-1+(Humphrey ALTAS)。

　　3 讨论

　　3.1 正视儿童角膜前表面各截痕形态均为椭圆，其中水平、近水平方向上为长椭圆形。

　　角膜的非球面性用非球面性参数(Q值)来评价，它描述的是角膜沿子午线截面从中央到周边变平坦或变陡峭的快慢，其与二次曲线离心率的数学关系式为：Q=-e2。不同范围的Q值代表不同形状的二次曲线(见表1)。Orbscan-Ⅱ 36条子午线中有29条子午线的Q值均数介于0～-1之间，余7条大于0，提示36条子午线的截痕形态均为椭圆且大部分为长椭圆。Humphrey ALTAS所得各截痕Q值均数在0～-1之间，提示36条子午线的截痕形态均为长椭圆形。故儿童角膜前表面各截痕均为椭圆。

　　将两种角膜地形图系统各截痕的Q值进行配对t检验(Orbscan-Ⅱ和Humphrey ALTAS)，结果显示差值的均数均大于0，即Humphrey ALTAS所描述的角膜前表面形态更为长椭圆一些，与既往研究一致[7]。同时，两种仪器的Q值在0°、10°、20°、30°、170°、180°、190°、200°、210°、220°、350°等11条子午线上差异无统计学意义(见表3)，而其他子午线Q值差异有统计学意义。也就是说，两种角膜地形图系统在描述水平或近水平子午线的角膜形态时是比较一致的，而在垂直子午线的描述上存在差异，究其原因，可能为：①Orbscan-Ⅱ测量所需时间长于Humphrey ALTAS，在测量的过程中眼球的水平运动对其准确性造成影响。②由于上、下眼睑的影响，水平或近水平子午线的数据采集优于垂直或近垂直子午线。③Orbscan-Ⅱ测量时所投射入眼的光线亮于Humphrey ALTAS，导致被检查者的不适感增强，影响了泪膜的稳定性。让被检查者尽量开大眼裂，延长重复测量的时间间隔，可能会有助于提高测量结果的一致性;同时两种仪器在测量中央区、旁中央区的一致性明显好于周边区[7]，由此考虑采用不同区域的数据进行数学建模时其一致性将发生变化，这有待进一步研究。本研究表明正视儿童角膜水平、近水平方向上的截痕形态为长椭圆形。

　　3.2 正视儿童角膜前表各截痕的Q值具有一定的变化规律，可用?兹的正弦函数表示。

　　两种仪器各截痕的Q值均数随角度的变化而呈现一定的规律性(见图1)，按顺时针方向，Orbscan-Ⅱ的呈现双峰变化，而Humphrey ALTAS的则呈现余弦函数变化。基于本研究的数学推导，Q值与sin?兹成函数关系。此关系式能推导出角膜前表面任意角度Q值。公式中的x、y是基于36条子午线的Q值均数拟合所得，故所得任意角度的Q值是一个平均参考值。由于每个人的角膜形态各不相同，故当要了解个体角膜的Q值时，需基于个体数据按前思路进行推导。

　　3.3 Q值研究的临床意义 目前研究角膜前表面Q值的文章众多，但大多数都将角膜作为一个整体进行研究，只提供一个Q值。一个整体的Q值只能反映形态变化的平均水平，很难显示局部细节问题。角膜为Toric非球面，也就是说其存在曲率最大和最小子午线，那么这两条子午线及这两条子午线间的角膜曲率变化趋势是否一致，单用一个平均后的Q值是很难真实再现形态变化细节，尤其对于散光较大的角膜而言。

　　临床上使用的角膜地形图系统对人眼角膜前表面的测量面积可达95%以上，所采集的数据点从6000～25000不等。就本研究中的两种仪器而言，Humphrey ALTAS共可得4500个数据点，而Orbscan-Ⅱ测量点高达9600点。但令人遗憾的是两种仪器对角膜前表面形态的描述都不完善。在Humphrey ALTAS中，一只眼只给出一个总体形状系数(shape factor，SF)，而Orbscan-Ⅱ虽有不同区域的Q值描述，但没有关于各条子午线的形态评估;且由于统计和计算公式的不同，不能直接将SF、Q值相比较。就这点而言，本研究为不同仪器的Q值计算软件的进一步完善提供了一个很好的思路。

　　儿童正视状态的保持有赖于屈光介质和眼轴的协调发展。目前国内外对儿童角膜的非球面性研究较少，焦点集中于不同屈光状态角膜形态的区别及角膜形态的改变对屈光不正的进展、眼球形态的影响。Davis等[5]通过对643位不同屈光状态的儿童的5年随访发现，正视及远视儿童的角膜比近视的更为扁长，在正视儿童和远视儿童中前房深度越深则角膜的Q值越正。Horner等[9]通过对48位近视儿童的长期随访发现，主要是眼轴的增长而不是中央角膜的变陡导致了近视的加深，但近视儿童向近视发展时，其角膜将会向扁椭圆发展，平均每近视4.00 D，则Q值大概会改变0.2。那么角膜形态在屈光状态的改变中作用如何，各条子午线在角膜形态变化中会起到什么样的作用，这些都有待进一步研究。本研究为更全面而详细地研究Q值提供了基础。

　　3.4 正视儿童角膜前表面为近旋转对称面 二次曲面(second-degree surface)为在三维坐标(x，y，z)下三元二次代数方程对应的所有图形的统称，根据形态可分为椭球面类、双曲面类、抛物面类及椭圆柱面类等(见表1)。两种仪器所得数学模型均显示正视儿童角膜前表面为椭球面，且c>a>b，也就是说其最长轴在X轴(视轴上)，短轴在Y轴(垂直轴上)。本研究提出的数学表达式与Douthwaite等[1]提出二次曲面方程：x2+y2+pz2-2rZ=0不同。Douthwaite等的公式表示的是旋转椭圆，即将椭球绕轴旋转而成，其在平面上截痕为圆，在不同的子午线上其曲率半径是相同的。而儿童角膜为Toric面[10]，故Douthwaite等提出的公式不能很好地描述儿童角膜的三维形态。

　　值得注意的是，椭球是一个旋转对称图形，而真实的角膜是否如此就不得而知。将关于Z轴对称的两条子午线的Q值进行相关性分析及配对t检验，结果显示对称性较差，其中Orbscan-Ⅱ测量和计算所得结果中，90°-270°(P=0.073)、100°-280°(P=0.223)、110°-290°(P=0.467)、120°-300°(P=0.856)、130°-310°(P=0.328)这五对子午线的Q值对称，而Humphrey ALTAS仅140°-320°(P=0.986)这对子午线对称(见表4)。可见角膜从中央到周边的变化趋势在各子午线上不尽相同，即它不是一个完全旋转对称图形。这似乎与文中提出的数学模型有出入，其实不然，因文中提出的为一个通用公式，只能无限接近真实值，而不能完全符合。要得出更加精确的二次曲面方程必须实现公式的个体化，同时增多所取的点数及缩小取值半径。在高度散光、圆锥角膜、角膜移植术后、近视激光术后等角膜对称性下降的情况下，二次曲面描述真实角膜的准确性将下降。

　　综上所述，本研究所提出的二次曲面方程式为非旋转性的椭球面，能很好地反映儿童角膜前表面的非球面性，为角膜地形图参考值的设立、三维空间角膜形态的描述及个体化Q值的研究提供了很好的依据，同时为个体角膜数学模型的建立提供了基础。但由于其为一个通用公式，故只能无限接近真实值，在描述个体角膜真实形态时将存在一定的误差，有待进一步完善。

　　【参考文献】

　　[1] Douthwaite WA， Burek H. Mathematical models of the general corneal surface[J]. Ophthal Physiol Opt， 1993 ，13 (1)：68-72.

　　[2] Preussner PR，Wahl J， Kramann C. Corneal model[J]. J Cataract Refract Surg，2003，29(3)：471-477.

　　[3] 邵婷婷，郑穗联，王波，等. 正常个体人眼角膜空间形态数学建模路线研究[J]. 眼视光学杂志，2005，7(4)：253-256.

　　[4] 张艳玲，邵婷婷，施明光. 正常人角膜椭球形态光学轨迹的初步验证[J]. 中华眼科杂志，2006，42(11)：992-997.

　　[5] Davis WR， Raasch TW， Mitchell GL， et al. Corneal Asphericity and Apical Curvature in Children：A Cross-sectional and Longitudinal Evaluation[J].Invest Ophthalmol Vis Sci， 2005， 46(6)：1899-1906.

　　[6] 徐栩，施明光，陈峰，等. 儿童正视眼角膜表面形态特征的初探[J]. 中国斜视与小儿眼科杂志，2000，8(1)：16-18.

　　[7] 朱乐如，查屹，施明光. 两种角膜地形图系统测量正视儿童角膜的比较[J]. 眼视光学杂志，2007，9(2)：120-123.

　　[8] Baker， TY. Ray tracing through non-spherical Surfaces[J]. Proc Phys Soc，1943，55：361-364.

　　[9] Horner DG， Soni PS， Vyas N，et al. Longitudinal changes in corneal asphericity in myopia[J]. Optom Vis Sci，2000，77(4)：198-203.

　　[10] 施明光，徐栩. 儿童眼角膜前表面非球面光学特性的初探[J]. 中国斜视与小儿眼科杂志，2001，9(1)：11-14.

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